Pengertian dan Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya

0 20

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan invers (kebalikan) dari eksponen atau pemangkatan.

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

{\displaystyle a^{b}=c\ \Longleftrightarrow \ ^{a}\log {c}=b}

 dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1.

Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.

{\textstyle ^{a}\log {x}}
{\textstyle \log _{a}{x}}

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = xb dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

————————————————————-

Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan {\textstyle ^{a}\log {x}} sebagai {\textstyle \log _{a}{x}}. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris.

Dengan keterangan sebagai berikut :

  • a = basis atau bilangan pokok
  • b = hasil atau range logaritma
  • c = numerus atau domain logaritma.
3.gif
4

Catatan, penting untuk anda ketahui sebelum kita membahas lebih jauh tentang rumus logaritma bahwa penulisan  sama artinya dengan .

Berikut ini sejumlah contoh logaritma:

PerpangkatanContoh Logaritma
 21 = 22log 2 = 1
 20 = 12log 1 = 0
 23 = 82log 8 = 3
2-3 = 82log  = – 3
 9log 
 103 = 1000log 1000 = 3

Sifat-sifat Logaritma

1. Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

alog p.q = alog p + alog q

a \ne 1

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

alog b x blog c = alog c

a \ne 1

dengan syarat a > 0, .

3. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

\frac{p}{q}

alog  = alog p – alog q

a \ne 1

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:

\frac{1}{^b log a}

alog b = 

a \ne 1

dengan syarat a > 0, .

5. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

\frac{p}{q}
\frac{q}{p}

alog  = – alog 

a \ne 1

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :

alog bp = p. alog b

a \ne 1

dengan syarat a > 0, , b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:

^{a^p} log b = \frac{1}{p} ^a log b

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya:

alog ap = p

a \ne 1

dengan syarat a > 0 dan .

9. Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:

a^{^a log m} = m
a \ne 1

dengan syarat a > 0, , m > 0.

10. Mengubah basis logaritma

Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

^p log q = \frac{^a log p}{^a log q}
a \ne 1

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

Contoh Soal Logaritma 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah … ?            (EBTANAS ’98)

Pembahasan 1

3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½

3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)

3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72½

\frac{1}{2}

3log 245 ½ =  ( 3log 5 + 3log 7)

\frac{1}{2}

3log 245 ½ =  (x + y)

\frac{1}{2}

Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 adalah  (x + y).

Contoh Soal Logaritma 2

Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a adalah …?              (UMPTN ’97)

Pembahasan 2

Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

^{a^4} log a

alog b – blog a = alog a4  – 

\frac{1}{4}

alog b – blog a = 4 (alog a) – ( alog a)

\frac{1}{4}

alog b – blog a = 4 – 

3 \frac{3}{4}

alog b – blog a = 

3 \frac{3}{4}

Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah .

Contoh Soal Logaritma 3

\frac{1}{27}

Jika alog (1- 3log ) = 2, maka tentukanlah nilai a.   (UMPTN ’97)

Pembahsan 3

Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi alog a2= 2, maka didapat :

\frac{1}{27}

alog (1- 3log ) = 2

\frac{1}{27}

alog (1- 3log ) = alog a2

Nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan:

\frac{1}{27}

1- 3log  = a2

\frac{1}{27}

3log 3 – 3log  = a2

3log 3 – 3log 3(-3) = a2

\frac{3}{3^{(-3)}}

3log  = a2

3log 34 = a2

4 = a2

Sehingga diperoleh nilai a = 2

Contoh Soal 1

1. Diketahui log 3 = 0,332 dan log 2 = 0,225.maka log 18 dari soal tersebut adalah……..

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Jawab:

Diket :

Log 3 = 0,332
Log 2 = 0,225

Ditanya: log 18 =…………….?

Jawaban:

Log 18 = log 9 . log 2
Log 18 = (log 3.log 3) . log 2
Log 18 = 2 . (0,332)  + (0,225)
Log 18 = 0,664 + 0,225
Log 18 = 0,889

Jadi, log 18 pada soal diatas adalah 0,889. (A)

Contoh Soal 2

2. Ubahlah  bentuk pangkat pada soal-soal berikut ini  ke dalam bentuk logaritma:

  1.  24 = 16
  2.  58 = 675
  3.  27 = 48

Pembahasannya :

*Transformasikanlah  bentuk pangkat tersebut  dalam  bentuk logaritma seperti berikut ini:

Jika nilai ba = c, maka nilai untuk  blog c = a

  1.  24 = 16 → 2log 16      = 4
  2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
  3.  27 = 48 → 2log 48     = 7

Contoh Soal 3

3. Tentukanlah  nilai dari logaritma berikut ini:

  • Nilai pada logaritma (2log 8) + (3log 9) + (5log 125)
  • Nilai pada logaritma (2log 1/8)+(3log 1/9) + (5log 1/125)

Pembahasannya :

a.(2log 8) + (3log 9) + (5log 125)
zb.(2log 1/8) + (3log 1/9) + (5log 1/125) = (2log 2 /−3) + (3log 3 /−2) + (5log 5 /−3) = (− 3 − 2 – 3) = − 8j

Jadi, nilai yang diperoleh dari soal diatas adalah 8 dan 8j.

Contoh Soal 4

4. Jika Diketahui 2log 8 = a dan 2log 4 = b. maka Tentukan nilai dari 6log 14

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a+1) / (b+2)
d. (1 +a) / (1+b)

Pembahasannya:

Untuk 2 log 8     = a
=  (log 8 / log 2) = a
=  log 8 = a log 2

Untuk 2 log 4     = b
=  (log 4 / log 2) = b
=  log 4 = b log 2

Maka ,16 log 8  = (log 16) / (log68)
=  (log 2.8) / (log 2.4)
=  (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
=  (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
=  log2 (1+ a) / log 2( 1+ b)
=  (1+a) / (1+ b)

Jadi, nilai dari 6 log 14 pada contoh soal diatas adalah (1+a) / (1+b). (D)

Contoh Soal 5

5. Nilai dari (3log 5 – 3 log 15 + 3log 9)…… ?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Pembahasannya :

(3log 5 – 3log 15 + 3log 9
= 3log ( 5 . 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Jadi nilai dari 3log 5 – 3log 15 + 3log 9 adalah 1. (B)

Contoh Soal 6

6. Hitunglah nilai pada soal logaritma berikut ini:

  1. (2log 4) + (2log 8)
  2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Pembahasannya:

1.(2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 pangkat 2 = 5

2.  (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Jadi, nilai dari masing masing soal  logaritma diatas  adalah 5 dan 4.

Contoh Soal 7

7. Hitunglah nilai pada soal logaritma berikut ini:

  1. 2log 5 x 5log 64
  2. 2 log 25 x 5log 3 x 3log 32

Pembahasannya:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) =(2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2 . (2log 5) x (5log 3) x 5 . (3log 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Jadi,nilai dari soal diatas adalah 6 dan 10.

Contoh Soal 8

8. Hitunglah nilai dari  log 25 + log 5 + log 80 ?

Pembahasannya:

Maka, log 25 + log 5 + log 80
= log (25 x 5 x 80)
= log 10000
= log 104
= 4

Itulah beberapa contoh soal logaritma matematika yang dapat disampaikan, semoga bermanfaat…

Get real time updates directly on you device, subscribe now.

Leave A Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.